Признаци за делимост

Признак за делимост на 2: Едно число се дели на две, ако последната му цифра е четна или нула.

Признак за делимост на 3: На 3 се делят само тези числа, сборът на които се дели на 3.

Признак за делимост на 4: Едно число се дели на 4, ако двете му последни цифри са нули или образуват число, което се дели на 4.

Признак за делимост на 5: На 5 се делят числата, които завършват с 0 или с 5.

Признак за делимост на 6: Едно число се дели на 6, ако се дели едновременно и на 2, и на 3.

Признак за делимост на 7: Съществуват много признаци за делимост на 7, но нито един от тях не е достатъчно удобен. Тук ще предложим два такива.

Първи признак за делимост на 7: Разделяме числото отдясно наляво на групички от по три цифри. Числото се дели на 7, ако разликата между сборовете на числата в групичките, стоящи на четни места и тези, стоящи на нечетни места, се дели на 7. Така числото 159 213 608 421 се дели на 7, тъй като 421 + 213 = 634 и разликата 767 - 634 = 133 се дели на 7. 

Втори признак за делимост на 7: Махнете последната цифра на числото, удвоете я, извадете от така намаленото начално число и продължете по този начин, докато получите едноцифрен  резултат. Числото се дели на 7 тогава и само тогава, когато този резултат е 0 или 7. Да вземем за пример числото 598, тогава махаме осмицата, удвояваме я и получаваме 16. От 59 вадим 16  и резултата е 43. Взимаме тройката, умножаваме я по 2 (получава се 6) и резултата изваждаме от 4. Крайният резултат е -2, следователно 598 не се дели на 7. Недостатък на това правило е, че не казва нищо за остатъка.

Признак за делимост на 8: Едно число се дели на 8, ако трите му последни цифри са нули или образуват число, което се дели на 8.

Признак за делимост на 9: На 9 се делят само тези числа, сборът от чиито цифри се дели на 9.

Признак за делимост на 10: На 10 се делят само такива числа, чиято последна цифра е нула. 

Признак за делимост на 11: На 11 се делят само тези числа, в които сборът от цифрите, заемащи нечетните места е или равен на сбора от цифрите заемащи четните места, или се различава от него с число, което се дели на 11.

Признак за делимост на 12: Едно число се дели на 12, ако се дели едновременно и на 3, и на 4.

...

Признак за делимост на 25: На 25 се делят числа, чиито две последни цифри са нули или образуват число, което се дели на 25 (т.е. числа, завършващи с 00, 25, 50, 75).

Аритметика (част 5)

7.5. Римски цифри

   Древните римляни използвали числена система, която се е запазила и до днес. Ние си служим с нея за означаване на месеците в датите, за номериране на някои страници и глави в книги и др. В най-последния си вид римските цифри изглеждат така: I = 1; V = 5; X = 10; L = 50; C = 100; D = 500; M = 1000. В по-стари времена те имали малко по-друга форма. Така числото 1000 се изобразявало със знака (|), a 500 - със знака |).

   За произхода на римските цифри няма достоверни сведения. Цифрата V първоначално може да е изобразявала разперена ръка, а цифрата X би могла да се състави от две петорки.Също тъй знакът за 1000 е може би съставен чрез удвояване на знака за 500 (или обратно).

   В римските цифри ясно се виждат следи от петична бройна система. Но в езика на римляните няма никакви следи от петична система. Това означава, че римляните са заели тези цифри от друг народ (твърде вероятно от етруските).

   Всички цели числа (до 5000) се записват, като се повтарят горните цифри. При това, ако по-голяма цифра стои пред по-малка, те се събират; ако ли по-малка стои пред по-голяма ( в този случай тя не може да се повтаря), по-малката се изважда от по-голямата. Например VI = 6, т.е. 5+1, а IV = 4, т.е. 5-1; XL = 40, т.е. 50-10, а LX = 60, т.е. 50+10. Една и съща цифра се поставя на поред не повече от три пъти: LXX = 70, LXXX = 80, числото 90 се записва XC, а не LXXXX.

   Първите 12 числа се записват с римски цифри така: I, II III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XII. Например XXVIII = 28; XXXIX = 39; CCCXCVII = 397; MDCCCXVIII = 1818.

   Извършването на аритметични действия над многозначни числа, записани с тези цифри, е много мъчно. Въпреки това римската числена система преобладавала в Италия до XIII в., а в други страни на Западна Европа - и до XVI в.

7.6. Индийска позиционна система

   В различни области на Индия съществували различни числени системи. Една от тях се разпространила по цял свят и днес е общоприета. В нея цифрите имали вида на началните букви на съответните числителни на древноиндийския език санскрит (азбуката "деванагари").

   Първоначално с тези знаци се представяли числата 1, 2, 3, ..., 9, 10, 20, 30, ... 90, 100, 1000; с помощта на тези цифри се пишели и другите числа. По-късно бил въведен специален знак (голяма точка, колелце) за посочване на липсващ разред; знаците за числата, по-големи от 9, излезли от употреба и числената система "деванагари" се превърнала в десетична позиционна система. Как и кога е станал този преход и досега не се знае. Към средата на VIII в. позиционната числена система получила широко разпространение в Индия. Приблизително по това време тя проникнала и в други страни (Индокитай, Китай, Тибет, Средна Азия, Иран и др.). Решаваща роля в разпространението на индийската числена система в арабските страни изиграло ръководството, съставено в началото на IX в. от узбекския учен Мохамед от Хорезм.

* Забележка: Мохамед от Хорезм е и основоположник на алгебрата. Работите си Мохамед писал на арабски език, който на Изток бил международен научен език, какъвто в Западна Европа бил латинският език. Оттук и арабизираното име ал-Хваризми (Хорезмиецът), под което Мохамед е известен в историята. 

   В Западна Европа то било преведено на латински език през XII в. През XIII в. индийската числена система получила широко разпространение в Италия. В другите страни на Западна Европа тя се утвърдила през XVI в. Европейците, които заели индийската числена система от арабите, я наричали "арабска". Това исторически неправилно название се е запазило и до днес.

   От арабския език е заета и думата "цифра" (по арабски "сифр"), която буквално значи "празно място" (превод от санскритската дума "суня", която има същия смисъл).

   Тази дума първоначално се употребявала за назоваване на знака за липсващия разред и през XVIII в. още запазвала този си смисъл, макар и латинският термин "нула" (от  nullum - нищо) да се е появил още през XV в.

   Формата на индийските цифри е претърпяла много изменения. Днешният им вид, в който ги пишем ние, е установен през XVI в. 

   С тази 5 част смятам да завърша публикациите озаглавени Аритметика, в които се наблягаше предимно на исторически факти и древни числени системи. Надявам се да са били увлекателни :)

Аритметика (част 4)

7.3. Древноарменски и древногрузински числа

   Арменците и грузинците също използвали азбучния начин за отбелязване на числата. Но в древноарменската и древногрузинската азбука имало много повече букви, отколкото в древногръцката. Това позволило да се въведат специални знаци и за числата 1000, 2000, 3000, ..., 9000. Числените стойности на буквите следвали по реда им в азбуката.

   Азбучната числена система преобладавала до XVIII в., макар че "арабските цифри" се употребявали в отделни случаи много по-рано. В Армения буквените числа се употребяват и сега за означаване на главите в книги, на куплетите в стихотворения и др. В Грузия буквените числа не се употребяват.

7.4. Вавилонска позиционна числена система

   В древния Вавилон около 40 века пр. н. е. била създадена позиционна числена система, т.е. такъв начин за отбелязване на числата, при който една и съща цифра може да означава различни числа в зависимост от мястото (позицията), заемано от нея. Нашата сегашна числена система е също позиционна: в числото 52 цифрата 5 означава пет десетици, а в числото 576 същата цифра означава стотици. Във вавилонската позиционна система ролята, която у нас играе числото 10, играело числото 60 и затова тяхната система се нарича шестдесетична. Числата, по-малки от 60, се означавали с помощта на два знака: за единицата и за десетицата. Те имали клинообразен вид, тъй като вавилонците пишели на глинени плочки с пръчици, имащи тристенна форма. Тези знаци се повтаряли толкова пъти, колкото трябва. В следващата таблица са дадени числата от 1 до 59:

   Как се означавали числата, по-големи от 60, е показано в следващия пример. Записването         означавало 1*60*60*60 + 57*60*60 +  46*60 + 50 = 424 000. Също както нашето записване 384 означава 3*100 + 8*10 + 4. Както забелязвате ролята на знак за междинен разред играе празното пространство. Липсата на най-ниския разред не се означавала, например числото 180 = 3*60 се записвало, също както и числото 3. Същото записване можело да значи и 3*60*60 = 10 800 и т.н. Числата 3, 180, 10 800 и т.н. можели да се различават едно от друго само по смисъла на текста.

   Записването  можело да значи също и 3/60, 3/(60*60) = 3/3600, 3/(60*60*60) = 3/216 000 и т.н. - също както ние означаваме числата 3/10, 3/(10*10) = 3/100, 3/(10*10*10) = 3/1000 в системата на десетичните дроби с помощта на цифрата 3. Но ние различаваме тези дроби една от друга, като поставяме нули пред цифрата 3 и пишем 3/10 = 0,3, 3/100 = 0,03 и т.н. Във вавилонската числена система тези нули не се означавали.

   Наред с шестдесетичната бройна система вавилонците използвали и десетичната, но тя не била позиционна. В нея освен знаците за 1 и 10 имало и следните знаци:

за 100               за 1000              за 10 000

   Числата 200, 300 и т.н. се записвали със знаците, и т.н. По същия начин се записвали числата 2000, 3000 и т.н., 20 000, 30 000 и т.н. Числото 274 се записвало така:

 

числото 2068 се записвало така:

 

   Шестдесетичната система възникнала по-късно от десетичната, защото числата до 60 в нея се записвали по десетичния принцип. Но кога и как е възникнала у вавилонците шестдесетичнаата система и до днес не се знае. За това са изказвани много предположения, но засега нито едно не е доказано.

   Шестдесетичното записване на цели числа не получило разпространение извън границите на асировавилонското царство, но шестдесетичните дроби проникнали далече зад тези граници: в страните от Близкия Изток, на Средна Азия, в Северна Африка и Западна Европа. Те се прилагали широко, особено в астрономията, чак до откриването на десетичните дроби, т.е. до началото на XVII в. Следи от шестдесетичните дроби са запазени и до днес в деленето на ъгловия и дъговия градус (а също и на часа) на 60 минути, а минутата на 60 секунди.

Аритметика (част 3)

7. Числените системи на някои народи

7.1. Древногръцки числа

   В най-древни времена в Гърция била разпространена т. нар. атическа система. Числата 1, 2, 3, 4 се означавали с чертички: ǀ, ǀǀ, ǀǀǀ, ǀǀǀǀ. Числото 5 се записвало със знака Γ (древното писане на буквата "пи", с която започва думата "пенте" - пет); числата 6, 7, 8, 9 се означавали Γǀ, Γǀǀ, Γǀǀǀ, Γǀǀǀǀ. Числото 10 се пишело Δ (началната буква на думата "дека" - десет). Ето и означенията за някои от  по-големите числа:

Останалите числа, в границите на десет хиляди, се записвали така: 

 

и т.н. 

   През III в. пр. н. е. атическата числена система била изместена от т. нар. йонийска система. В нея числата от 1 до 9 се означават с първите девет букви от азбуката: 

Забележете, че числото 6 е представено чрез остарялата и извадена от употреба буква "дигамма".

   Числата 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 се означавали със следващите девет букви: 

Обърнете внимание, че тук 90 е представен с остарял символ: излязлата от употреба буква "коппа". 

   Числата 100, 200, 300, ..., 900 се означавали с последните девет букви: 

Тук символа за 900 е излязлата от употреба буква "сампи" (на друго място го срещнах, като "сан").

   Числата 1000, 2000, 3000, ..., 9000 били изписвани чрез добавяне на особен знак (на едно място пишеше малка буква "йота") горе вляво: ˊα = 1000, ˊβ = 2000 и т.н.

   За представяне на числа по-големи от 9999 древните гърци използвали различни системи, една от тях била пред дадено число да се постави символа М, това го мултиплицирало по 10 000, а ако било поставено ММ, то числото се умножавало по 100 милиона. Друга разновидност е символа М да е под числото, а то да е изписано над нея с по-малки букви, ето и един пример: 

   За да се различават буквите, които означават цифри, от обикновените, над тях се пишели чертички.

   Също такава буквена система имали в древността евреите, арабите и много други народи от Близкия изток. Не се знае у кой народ тя е възникнала най-напред.

7.2. Славянски числа

   Южните и източните славянски народи използвали за записване на числата азбучната система. У едни славянски народи числените стойности на буквите били установени по реда им в славянската азбука, а у други ролята на цифри играели не всички букви, а само тия, които влизали в гръцката азбука. Над буква, която означава цифра, се слагал особен знак - "титла". При това числените стойности на буквите нараствали в реда, по който следвали буквите в гръцката азбука (редът на буквите в славянската азбука бил малко по-различен).

   Днес славянските цифри се срещат само в старите богослужебни църковни книги.

   На долната таблица са дадени славянските цифри:

Аритметика (част 2)

4. Десетична бройна система

   В съвременния български език, а също и в езиците на други народи имената на всички числа до милион се съставят от 37 думи, означаващи числата 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000 (например деветстотин осемнадесет хиляди седемстотин четиридесет и две). На свой ред имената на тези 37 числа обикновено се образуват от имената на числата от първата десетица (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) и на числата 10, 100, 1000 (например 18 = осемнадесет, 30 = тридесет, т.е. три десетици, 300 = триста, т.е. три стотици). В основата на това словообразуване лежи числото 10 и затова нашата система от имена се нарича десетична бройна система. Изключителната роля, която играе в нея числото 1, се обяснява с това, че имаме на ръцете си 10 пръста.

   В различните езици има някои отклонения от споменатото правило. Тези изключения се обясняват с особености в историческото развитие на броенето. В съвременния български език такива изключения няма. 

   В руския език единствено изключение е името "сорок" (четиридесет). Някога наред с него се е употребявало и "четьıрдесят". Това изключение е навярно свързано с обстоятелството, че числото 40 е играло някога особена роля, като е означавало неопределено голямо количество.

* Забележка: С думата "сорок" (или "сорочка") в древна Русия наричали голям чувал, в който се слагали ценните соболеви кожи.

   В тюркските езици (азербайджански, узбекски, туркменски, казахски, татарски, турски и др.) изключение правят имената на числата 20, 30, 40, 50, докато имената на числата 60, 70, 80, 90 са образувани от имената на числата 6, 7, 8, 9. В монголския език, обратно, имената на числата 20, 30, 40, 50 следват общото правило, а имената на 60, 70, 80, 90 правят изключение. Във френския език са се запазили недесетични названия за числата 20 и 80, като 80 се нарича quatre vingt, т.е. "четири двадесет". Тук имаме остатък от древното двадесетично смятане (по броя на пръстите на ръцете и краката). В латинския език името на числото 20 също не е десетично (viginti), но името на 80 (octoginta) е десетично; то идва от 8 (octo). Затова пък названията на числата 18 и 19 са образувани от названието на 20 с помощта на изваждане: 20-2 и 20-1 (duodeviginti, undeviginti, т.е. "две от двадесет", "едно от двадесет"). Названията на числата 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900 във всички съвременни езици са построени на десетични основи. 

5. Развитие на понятието число

   При броенето на отделни предмети единицата е най-малкото число; не е нужно тя да се дели на части, а често е и невъзможно (когато се броят камъни, прибавянето на половината от единица към два други камъка прави три камъка, а не два камъка и половина; да се състави комисия от 2,5 човека е невъзможно). Обаче деленето на единицата на части се налага даже и при груби измервания на величини , например при измерването на измерването на дължина с крачки (2,5 крачки и т.н.). Ето защо още в далечни времена се е създало понятието дробно число. По-нататък се оказало необходимо да се разшири още повече понятието число; последователно се появили ирационални, отрицателни и комплексни числа.

   Доста късно към семейството на числата се присъединява нулата. Първоначално думата "нула" означавала липсата на число (буквалният смисъл на латинската дума nullum е "нищо"). И наистина, ако например от 3 извадим 3, не остава нищо. Основания да се смята това "нищо" за число се явили едва във връзка с разглеждането на отрицателните числа. 

6. Цифри

   Цифрата е писменият знак, който изобразява число (първоначално думата "цифра" имала друг смисъл). В най-древни времена числата се означавали с праволинейни белези ("пръчици"): една пръчица означавала единица, две пръчици - двойка и т.н. Този начин на записване произлиза от резките. Той и до днес се е запазил в "римските цифри" за изобразяване на числата 1, 2, 3.

   За изобразяване на по-големи числа този начин не бил добър. Затова се появили специални знаци за числото 10 (в съгласие с десетичното броене), а у някои народи и за числото 5 (съответно на петичното броене по броя на пръстите на едната ръка). По-късно били създадени знаци и за по-големи числа. У различните народи тези знаци имали различна форма и се видоизменяли с течение на времето. Различни били и числените системи, т.е. начините, по които се съединявали цифрите за изобразяване на големите числа. Обаче в повечето числени системи главно значение има десетичната основа, както е преобладаваща и десетичната бройна система.

   

Аритметика (част 1)

   Докато се чудех каква да е първата ми статия се сетих за една книга - "Справочник по елементарна математика" от М. Я. Вигодски, която е изключително увлекателна и е изпълнена с интригуваща информация за различни аспекти на математиката. Преглеждайки съдържанието й реших, че да започна с някои интересни факти относно аритметиката ще е добро начало. 

1. Предмет на аритметиката 

   Аритметика - това е наука за числата. Името й произлиза от гръцката дума "аритмос", която значи "число". В аритметиката се изучават най-простите свойства на числата и правилата за смятане. По-специалните свойства на числата се изучават в теория на числата. 

2. Цели (естествени) числа

   Първи представи за числата хората са добили в незапомнена древност. Тези представи са възникнали от броенето на хора, животни, плодове, различни изделия на човека и други предмети. В резултат от броенето се явяват числата едно, две, три и т.н. Тези числа сега наричаме естествени. В аритметиката ги наричат също и цели числа (в математиката наименованието "цяло число" има по-широк смисъл).

   Понятието естествено число е едно от най-простите понятия. То може да се поясни само с предметен пример. 

   Редът на целите числа

1, 2, 3, 4, 5, ...

продължава безкрай; той се нарича естествен ред. 

* Забележка: Евклид ( 3 век пр. н. е.) определял числото (естественото) като "множество, съставено от единици"; подобни определения могат да се намерят и в много съвременни учебници. Но думата "множество" (или "събрание", или "съвкупност" и др.) съвсем не е по-понятна от думата число.

3. Граници на броенето 

   На ранните стъпала от развитието на обществото хората почти не умеели да броят. Те различавали една от друга съвкупности от два и три предмета; всяка съвкупност , съдържаща по-голям брой предмети, се означавала с понятието "много". Това още не било броене, а само негов зародиш. 

   С течение на времето способността да се различават една от друга малки съвкупности се развивала; възникнали думи за означаване на понятията "четири", "пет", "шест", "седем". Последната дума дълго време означавала също и неопределено голямо количество. Това се е запазило в стари народни пословици и поговорки ("седем пъти мери - веднъж режи, "ламя седмоглава", "седем педи брада" и др.).

   Усложняването на стопанската дейност на хората ги принудило да броят в по-широки граници. За тая цел човек използвал като инструмент за броене заобикалящите го предмети: той правел резки на пръчки и дървета, завързвал възли на върви, трупал камъчета на купчинки и т.н.

* Забележка: От броенето с помощта на камъчета водят началото си различни усъвършенствани инструменти, например обикновеното сметало, китайското сметало "сван-пан", древноегипетският "абак" (дъска, разчертана на ивици, в които се слагат жетони). На латински език понятието "броене" се означава с  думата calculatio (оттук употребяваната у нас дума "калкулация"), тя произтича от думата "calculus", която значи "камъче".

   Особено важна роля играел природният инструмент на човека - пръстите му. Този инструмент не можел да запазва резултата от броенето за по-продължително време, но затова пък винаги бил на разположение и се отличавал с голяма подвижност. Езикът на първобитния човек бил беден; жестове допълвали недостигащите думи и числата - тези, които още нямали имена се  показвали на пръсти (както правим и сега, когато се обясняваме с човек, който не знае езика ни). Естествено е, че нововъзникващите имена на "големите" числа често се строели на основа на числото 10 - по броя на пръстите на ръцете: у някои народи пък възниквали имена на числата на основа на числото 5 - по броя на пръстите на едната ръка, или на основа на числото 20 - по броя на пръстите на ръцете и краката.

   На първо време запасът от числа се увеличавал бавно. Най-напред хората овладели броенето в границите на първите няколко десетици и едва после дошли до стоте. У много народи числото 40 дълго време било граница на броенето и името му означавало неопределено голямо количество. Например в руския език думата "сорок" (четиридесет) дълго значела много, а изразът "сорок сороков" (четиридесет пъти по четиридесет) означавал число, надминаващо всяко въображение. Този смисъл има думата "сорок" и в много руски пословици. Същото се среща и при много други народи (например "Али Баба и четиридесетте разбойници" и др.).

   На следващото стъпало броенето достига нова граница - десет десетици и се създава име за числото 100. Заедно с това думата "сто" придобива смисъла на неопределено голямо число. Също такъв смисъл после придобиват последователно числата хиляда, десет хиляди, милион.

* Забележка: В някои езици една и съща дума означава и 40, и 100 ( например в татарския).